モンティ・ホール問題 

 
  この問題は数学者も間違えるほど勘違いしやすい条件付き確率の問題だとして様々なサイトや本で解説されています。
勘違いした数学者の中には数論や確率論で名高いポール・エルデシュもいました。しかし、彼らは勘違いはしたが、確率の考え方を間違ったわけではなく、問題が正しく伝わってなかっただけのように思えます。

条件付き確率というのは高校数学で登場する概念ですが、多くのサイトでは、確率に馴染みのない読者も想定していますので、条件付き確率の公式を使うのではなく、表などを使って様々な解説がなされています。この問題は科学雑誌ニュートンプレスでも取り上げられ、二重の円を描き、内部を分割した円グラフを3つ描いて説明してありました。
 ここでは、表や図は使わず論理的で誰にでも分かるような簡潔な解説を試みています。 

●問題の詳細について
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』

モンティ・ホール問題とは、確率論の問題で、ベイズの定理における事後確率、あるいは主観確率の例題のひとつとなっている。
※注 事後確率とは条件付き確率の1種である。

時は1990年、モンティ・ホールが司会者を務めるアメリカのショー番組の中で次のようなゲームが行われた。

プレーヤーの前に閉まった3つのドアがあって、1つのドアの後ろには景品の新車が、2つのドアの後ろには、はずれを意味するヤギがいる。プレーヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる。プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。
ここでプレーヤーは、最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更してもよいと言われる。

プレーヤーはドアを変更すべきだろうか?


ニュース雑誌 Parade にて、マリリン・ボス・サヴァントが連載するコラム「マリリンにおまかせ」において上記の読者投稿による質問に「正解は『ドアを変更する』である。なぜなら、ドアを変更した場合には景品を当てる確率が2倍になるからだ」と回答した。すると直後から、「彼女の解答は間違っている」との約1万通の投書が殺到し、本問題は大議論に発展した。

答えをめぐっての騒動

投書には、1000人近い博士号保持者からのものも含まれていた。その大部分は「ドアを変えても確率は五分五分(2分の1)であり、3分の2にはならない」とするものであった。サヴァントは投書への反論を試み、同年12月2日、数通の反論の手紙を紹介した。
ジョージ・メイソン大学 ロバート・サッチス博士「プロの数学者として、一般大衆の数学的知識の低さを憂慮する。自らの間違いを認める事で現状が改善されます」
フロリダ大学 スコット・スミス博士「君は明らかなヘマをした(中略)世界最高の知能指数保有者自らが数学的無知をこれ以上世間に広める愚行を直ちに止め、恥を知るように!」
サヴァントは、より簡易にした表を掲載「ドアを変えれば勝てるのは3回の内2回、負けるのは3回の内1回だけ、しかしドアを変えなければ勝てるのは3回の内1回だけ」と述べる。この問題に関する1991年2月17日付、3回目の記事の段階でサヴァントに対する反論は9割程度を占める。

「現実が直観と反する時、人々は動揺する」とサヴァントはコラムで反論の声に応じ、下記の説明を試みる。

「 司会者がドアを開けてみせた直後にUFOがステージに到着して宇宙人が出てきたと仮定する。人間の出場者が最初に選んだ扉を宇宙人は知らずに司会者がまだ開けられていない2つの扉のどちらかを選択するよう宇宙人に勧めると、この時の確率が五分五分になる。しかし、それは宇宙人が本来の出場者が司会者から得たヒントを知らないためである。仮に景品が扉2にある場合司会者は扉3を開ける。扉3に景品がある場合は扉2を開ける。つまり景品が扉2または扉3にあるなら、出場者が扉の選択を変えれば勝利する。『どちらかでも勝てるのです!』でも扉を変えなければ、扉1に賞品がある場合しか勝てないのです。 」

サヴァントの再再々解説でも大論争へと発展、「彼女こそ間違っている」という感情的なジェンダー問題にまで飛び火した。

---引用終わり  以下省略

 以上のように、専門家も交えて議論になったわけですが、その原因は上述の青字で書いてあるゲームの内容について誤解があったからであろうと思われる。サヴァントは数学者に対しては、以下のように言えば何でもなかったのではあるまいか。

「このゲームでは、司会者はどれが当たりであるかを知っていて、彼は必ず、はずれのドアを開けて見せます」

上のような事実を承知の上でこの問題を考えれば、サヴァントの解説も分かりやすいと思われるが、ゲームの詳細がすべて明らかになった現在でも、表を用いて面倒な解説がしてあります。やはり残った2つのうち1つが当たりだから、当たる確率は2分の1という考えに惑わされやすいということでしょう。
実際、司会者がどれが当たりであるかを知らなかったとしたら、BかCを開けてはずれであっても、次のような状況が考えられ、いずれの場合も出現確率が同じですからドアを変えても変えなくても当たる確率は2分の1になります。


 しかし、この問題の場合は司会者が、どれが当たりであるかを知っていて、彼は必ず、はずれのドアを開けて見せることになっていますので、ドアを変えても変えなくても当たる確率は2分の1だと考えるわけにはいきません。
    
これと本質的には同じ問題に「3人の囚人」というものがあります。
この問題は以下のようなものです。

 ある国で、処刑されることになっている3人の囚人A,B,Cが、それぞれの独房に入っていました。やがて、この国の王子が結婚するというので、3人のうち一人だけ恩赦にすることになりましたが、誰が釈放されるかは同じ確率で決定されました。しかし、囚人は誰が恩赦になるかは知りません。そこで、結果を知っている看守に囚人Aが次のように尋ねました。「BとCのうちどちらが処刑されるのか教えてくれないか。どちらかは必ず処刑されるのだから、それを知ったところで何も問題ないだろう?」看守はAの言い分に納得して、「Bが処刑される」と答えました。ところが、これを聞いた囚人Aは、何も知らなかったときは釈放される確率は3分の1だったけど、今は自分かCのどちらかが釈放されることになるので、釈放される確率は2分の1に増えたことになると考え喜びました。
Aの考えは正しいのでしょうか。

※これは1966年にサーベロニの別荘で開かれた生物学会で話題になり、本題の生物学の議論はそっちのけで、かなり白熱した議論がなされたという有名問題ですが、これもネットで検索すると、このページを書いている時点では、確率に精通していないと理解できないような解説ばかりです。

 この「3人の囚人」の問題は、モンティ・ホール問題のような誤解が起こる余地はないように思えますが、議論になるということは、やはり、2つに1つだから2分の1だという考えに惑わされやすいと考えられます。この問題の「恩赦」がモンティ・ホール問題では「当たりのドア」に相当します。ただし、この場合は当たりくじを選ぶのは囚人ではなく、選び直しはできません。

モンティホール問題の解法は様々な方法がありますが、大抵は下記のような表を使って説明してあります。

※下記は「モンティホール問題」でネット検索してみると黒板に表を書いて解説してあるものが最上位にありました。下記はその黒板の表を再現したものです。(大学受験生までを対象にしたある塾の解説で、非常に分かりやすいという評判のようですが、間違いに気づいていずれ削除されるだろうと思います。どこが間違いかよくご覧ください。)



表に確率が書き込まれていないこのような図は、どれも同様に確からしい(同じ確率で起きる)場合をすべて図示して確率を求めるときに使うもので、解説もそのように考えてありますが、司会者がどれが当たりのドアであるかを知っていたなら、これらは同様に確からしい(同じ出現確率)とは言えません。これが第1の間違いです。次に、例えば上図の前半の部分(選んだドアを変えない場合)も間違いです。
理由は下記のとおりです。


上図には下記の場合がありません。これが第2ので間違いです。

これは当然、入れるべきものです。しかしこれを入れると、すべてが同様に確からしい(出現確率が同じ)なら、最初に選んだドアを変えない場合、当たる確率が2分の1となってしまいます。後半のドアを変える場合の図についても同様のことがいえます。つまり、出現確率の間違いと場合分けの間違いを犯しているために、たまたま答が合っているだけなのです。

司会者がドアの中身を知らずに、たまたま開けたドアがはずれであった場合は、プレーヤーが最初に選んだドアも、もう一つの開けられていないドアも当たる確率は2分の1であるが、司会者が、はずれのドアだと分かっていて、はずれのドアを開けたということなら、最初に選んだドアが当たる確率は3分の1、もう一つの開けられていないドアの当たる確率は3分の2となります。

司会者が知っていたか、知らなかったか、それが重大なポイントであり、正しい解法は、「知っていた」という前提条件が反映されたものになります。

しかし、この問題(ゲーム)は元々、確率に馴染みのない一般の人たちを対象にしたものでしたから、できることなら、確率の考え方をほとんど知らない人でも簡単に理解できるような論理的な解法が望ましいと思い、次のような解法を考えました。このページを書いている現段階では、ネット上でも下記のような解法は見当たりませんが、いずれ、このように場合分けをしない解法が多くなることでしょう。

 モンティ・ホール問題の論理的な解法
この問題の前提条件をもう一度確認しておきます。
プレーヤーが1つのドアを選んだとき、それが当たりである確率は3分の1である。プレーヤーはA,B,CのドアのうちAを選んだ。従って、BかCの少なくとも一方ははずれである。 司会者はどれが当たりのドアかを知っており、必ずはずれのドアを開ける。
<解答>
この問題ではプレーヤーが1人いて、A、B、Cのドアのうち1つを選んだということになっているが、状況を少し変え、プレーヤーはPさんとQさんの2人がいて、最初にPさんがドアAを選んだとしましょう。Qさんは特別ゲストに選ばれた人でしたので、残りのドアBとドアCの両方を開けてよいことになりました。するとPさんが当たる確率は3分の1であるが、Qさんが当たる確率は3分の2です。番組を盛り上げるためにPさんとQさんは同時にドアを開けることになりました。しかし、ドアとドアが離れているために、Qさんは同時に2つのドアを開けることができません。そこで、すべてのドアの中身を知っている司会者が、「ドアCは、はずれだからCは開ける必要はありません」と告げました。当然ですが、司会者がそのように告げても、Qさんの当たる確率が3分の2から3分の1に減るはずはありません。ドアBとドアCの少なくとも1方ははずれであることは当然であり、開ける手間が省けるように司会者がはずれのドアを1つ教えただけですから。つまり、ドアBが当たる確率は3分の2のままということになります。従って元の問題で考えると、プレーヤーがAのドアを選び、司会者がCのドアを開けてはずれであることを示したなら、Bのドアが当たる確率は3分の2で、Aが当たる確率は3分の1のままになります。

辻 勝久
 IMDパズルランド